Le tangram permet de parler de fractions sans commencer par une suite de calculs : on choisit le grand carré comme unité, puis on compare l’aire de chaque pièce à cette unité. Dans un tangram classique, les deux grands triangles représentent chacun un quart du carré, le triangle moyen, le carré et le parallélogramme représentent chacun un huitième, et chacun des deux petits triangles représente un seizième.
Avec le tangram AnimyJob ou un jeu de sept pièces imprimées à la même échelle, l’enfant peut vérifier ces relations en assemblant, superposant mentalement et comparant des formes. L’objectif n’est pas de mémoriser un tableau : il est de comprendre pourquoi plusieurs pièces différentes peuvent avoir la même aire.
Prendre le carré complet comme unité
Reconstituez d’abord le carré classique avec les sept pièces. Ce carré vaut 1 entier. Toutes les fractions données ensuite décrivent la part de ce carré occupée par une pièce.
Si vous changez de taille d’impression, les longueurs changent mais les fractions restent identiques, à condition que toutes les pièces soient agrandies ou réduites ensemble.
Le tableau des aires relatives du tangram
| Pièce | Nombre | Fraction du carré pour une pièce | Équivalence utile |
|---|---|---|---|
| Grand triangle | 2 | 1/4 | 2 grands triangles = 1/2 |
| Triangle moyen | 1 | 1/8 | 2 triangles moyens = 1/4 |
| Petit triangle | 2 | 1/16 | 2 petits triangles = 1/8 |
| Carré | 1 | 1/8 | Même aire que le triangle moyen |
| Parallélogramme | 1 | 1/8 | Même aire que le carré |
La somme doit retrouver l’unité : 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16 + 1/16 = 1.
Assemblez les pièces du tangram
Ouvrez le jeu pour reproduire des formes avec les pièces géométriques.
Démonstration 1 : deux petits triangles font un huitième
Prenez les deux petits triangles. Ils sont identiques. Assemblez-les par un côté adapté : selon leur orientation, ils peuvent former un carré ou un triangle plus grand. L’aire totale ne change pas lorsque l’on déplace les pièces.
Leur assemblage a la même aire que le carré du tangram, que le parallélogramme ou que le triangle moyen. Comme ces trois pièces valent chacune 1/8 du grand carré, chaque petit triangle représente la moitié de 1/8, donc 1/16.
Démonstration 2 : le triangle moyen, le carré et le parallélogramme ont la même aire
Ces trois pièces n’ont pas la même forme, ce qui rend la comparaison intéressante. Placez à côté de chacune les deux petits triangles réunis. Vous obtenez à chaque fois une surface équivalente : la forme change, pas la quantité de surface.
C’est un bon moment pour distinguer forme et aire. Deux figures peuvent avoir des contours différents tout en occupant la même surface.
Démonstration 3 : un grand triangle vaut deux pièces d’un huitième
Un grand triangle représente 1/4 du carré. Or 1/4 équivaut à 2/8. Vous pouvez donc chercher plusieurs couples de pièces qui occupent ensemble la même aire qu’un grand triangle, par exemple le carré et le triangle moyen, ou le parallélogramme et le carré.
Il n’est pas toujours possible de recouvrir exactement le grand triangle avec n’importe quel couple sans réorganiser les formes, mais l’égalité d’aire reste vraie. Pour une démonstration concrète, utilisez des assemblages dont les bords correspondent correctement plutôt que de forcer une superposition.
Construire une “famille d’équivalences”
Écrivez au centre d’une feuille « 1/8 ». Autour, placez ou dessinez :
- le triangle moyen ;
- le carré ;
- le parallélogramme ;
- les deux petits triangles réunis.
Vous obtenez quatre représentations différentes de la même fraction du tangram. Cette comparaison rend l’égalité plus concrète qu’une simple liste de fractions.
Passer de l’aire aux fractions sans mesurer les côtés
Il n’est pas nécessaire de sortir une règle pour chaque pièce. Le tangram est construit à partir d’un carré découpé selon des relations géométriques précises. On peut donc raisonner par partage et recomposition.
Des ressources pédagogiques comme NRICH proposent justement d’utiliser le tangram pour demander quelle fraction du carré entier représente chaque pièce. L’intérêt est de faire argumenter les élèves à partir des assemblages plutôt que d’imposer les réponses.
Trois petits défis à proposer
Défi 1 : construire un demi-carré
Demandez de sélectionner des pièces dont l’aire totale vaut 1/2 du tangram. La réponse la plus directe utilise les deux grands triangles : 1/4 + 1/4 = 1/2. Mais d’autres combinaisons sont possibles.
Défi 2 : trouver toutes les pièces qui valent 1/8
Il faut identifier le triangle moyen, le carré et le parallélogramme. Puis ajoutez une question : « Peut-on fabriquer encore 1/8 avec plusieurs petites pièces ? » Les deux petits triangles donnent la quatrième réponse.
Défi 3 : fabriquer 3/8
L’enfant peut associer trois pièces d’aire 1/8 ou combiner 1/4 et 1/8. Laissez-le proposer plusieurs assemblages et justifier le total.
Éviter deux confusions fréquentes
Une grande longueur ne signifie pas forcément une grande aire
Le parallélogramme peut sembler plus “long” que le carré, pourtant ils occupent la même aire. Utilisez cette différence visuelle pour faire verbaliser ce que l’on compare réellement.
La position d’une pièce ne change pas sa fraction
Tourner ou retourner une pièce ne modifie pas son aire. Un petit triangle reste 1/16 du carré qu’il soit posé dans un angle, au centre ou dans une autre silhouette.
Ajustements utiles avec les sept pièces
Quelle fraction représente un grand triangle du tangram ? Un grand triangle représente 1/4 du carré complet. Les deux grands triangles réunis occupent donc la moitié du tangram.
Quelle fraction représente le carré ? Le carré représente 1/8 du tangram complet. Il a la même aire que le triangle moyen et le parallélogramme.
Quelle fraction représente un petit triangle ? Chaque petit triangle représente 1/16 du carré. Les deux petits triangles réunis valent 1/8.
Peut-on travailler les fractions avec une silhouette autre que le carré ? Oui, mais gardez le carré complet comme unité de référence. Une silhouette réalisée avec les sept pièces possède toujours la même aire totale que ce carré, même si son contour est différent.
Le tangram permet de voir que des formes différentes peuvent représenter la même part d’un tout. Les relations 1/4, 1/8 et 1/16 deviennent plus faciles à expliquer lorsque l’enfant les construit avec les pièces.
